[数学]直線が線分を内分する点

いきなりですが、下の図のように直線APが線分BCを内分する点Dを求めたいと思います。つまり、BD対DCの比を求めます。


平行四辺形の面積を比較することによって比を求めます。
次の４枚の図で平行四辺形を作っています。








次の図を見ると、緑の部分の面積と青の部分の面積の比が求めるBD対DCの比になっていることが分かります。


緑の部分の面積は黄色の部分の面積に等しいので、結果的には黄色の面積対青の面積の比を求めればよいことになります。


下の図のように、黄色の部分の面積は、ベクトルABとベクトルAPの外積の絶対値で求められます。紫の部分の面積は、ベクトルBP'とベクトルAPが等しいので、ベクトルBCとベクトルAPの外積の絶対値になります。


よって、BD対DCは、
BD/BC = |AB x AP| / |BC x AP|
となります。