大域照明で３次元モデルをレンダリングする場合、モデル中のある点における輝度を計算するために、図１のようにその点を中心とする単位半球面を通過する光の量を求める必要があります。つまり、その点からモデル全体を見渡した時に、その点から見て光源はどの方向にありどのくらい入射してくるのか、また光源じゃない部分からもその点に間接的に光は届くので、その部分からの光の量はどのくらいなのかということを計算しなければいけません。前回のパストレーシングは、ある点に光源から直接届く光と光源から１度別の点で反射して届く光のみを考慮して輝度を計算しました。したがって、完全な大域照明と言えないでしょう。
図１ ある点に入射する光。球面に沿って面積分して光の総和を求める
モデル中のある点に入射してくる光の量というのは、言い換えれば、その点を中心とする単位半球面に沿った光の量の面積分のことだと言えるでしょう。パストレーシングは、その面積分を行っているわけですね。つまり、直接光に関して言えば、半球面上に投影されるモデル中の光源の面積が直接光の量に比例します。であるからには、ある点からモデル全体を見渡した時、その半球面上に描かれるモデルを視覚化してみたくなりました。そこで、魚眼レンズのようなものを実装し、魚眼レンズに移った像を平面に描いてみました。球面を平面で表現する方法は、地球を地図で表現する方法と同じようにすれば良さそうですね。学生のころ地理の授業でいろいろならった記憶があります。メルカトル図法とか。ここでは、ランベルト正積方位図法を使って２次元に映し出してみることにしました。ランベルト正積方位図法っていうのは、面積比が実際と比べてだいたい同じくらいになる図法です。正確に面積比が同じなるわけではないようです。ですが、簡単に球面上の面積を視覚化するには、ちょうどいい方法だと思い、この図法を使うことにしました。
球面上の点をスクリーンに投影するには、球面上の点とスクリーン上のピクセル値を結び付けなければなりません。図２に示すように、ランベルト正積方位図法では、球面上の点P'がスクリーン上に投影する点P''は、天頂Aと点P'が作る線分AP'を半径とする円とスクリーン２と交わる点のうち近い方の点とします。なので、スクリーン上のピクセル値を決めれば、その点に対応する球面上の点を決めることができる。
図２ ランベルト方位図法
球面上の点は、極座標で表現するのが簡単なので、天頂角AOP'を求めるのがよいでしょう。この天頂角AOP'は、余弦定理で計算できます。そんな定理ありましたね。懐かしいですね。ほとんど忘れてるのでWikipediaで調べてみました。
cos(x) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
三角形の三辺の長さが分かれば、角度が分かるよっていう定理ですね。
ここで三角形AOP'を見ると、辺AP'は分かってます。でも、辺AOと辺OP'は分かってないですね。ただ、辺AOと辺OP'は円の半径OBなので同じなので、求めるべきは円の半径OBということになります。
ところで、点Bは、魚眼レンズの一番端の部分です。この点をスクリーン上で考えると、やはりスクリーンの一番端になります。スクリーンが正方形だと仮定して、その幅をwとすると線分AB'の長さは、w/2となります。線分AB'と線分ABの長さは等しいので、線分ABの長さもw/2になります。三角形AOBは、直角二等辺三角形なので、各辺の長さの比AO:OB:ABは、1:1:sqrt(2)となります。つまり、辺AOの長さは、辺ABの長さを1/sqrt(2)倍したw/(2 x sqrt(2))です。先ほど述べたように、線分AOと線分P'Oの長さは等しいので、線分P'Oの長さもw/(2 x sqrt(2))です。
これで、三角形AOP'の全ての辺の長さが分かりました。余弦定理に当てはめると天頂角AOP'を求めることができます。次のソースコードは、Scalaでスクリーン上のピクセル値から半球上の点の座標を求めるコードです。
スクリーン上のピクセル値から球面上の点P'の座標は求めることができました。では、この点P'にはモデル中のどの点が投影されるのでしょうか？ この計算はさほど難しくありません。なぜなら、ベクトルOP'とシーンの中の全てのポリゴンとの交点のうち点P'と最も距離の近いものが、求める点になります。これは、レイトレーシングの時に登場する計算と同じです。
前回のシーンを実装した魚眼レンズを使ってレイトレーシングでレンダリングしました。比較の為に普通のカメラを使ってレンダリングした画像を載せておきます。左が普通のカメラ。右が魚眼レンズ。
下左図の赤丸の中の白い点から魚眼レンズでシーン全体を見渡してみました。下右図は、レイトレーシングのレンダリング結果です。
以下はその時のコード。
大域照明で３次元モデルをレンダリングする場合、モデル中のある点における輝度を計算するために、図１のようにその点を中心とする単位半球面を通過する光の量を求める必要があります。つまり、その点からモデル全体を見渡した時に、その点から見て光源はどの方向にありどのくらい入射してくるのか、また光源じゃない部分からもその点に間接的に光は届くので、その部分からの光の量はどのくらいなのかということを計算しなければいけません。
図１ ある点に入射する光。球面に沿って面積分して光の総和を求める
モデル中のある点に入射してくる光の量というのは、言い換えれば、その点を中心とする単位半球面に沿った光の量の面積分のことだと言えるでしょう。パストレーシングは、その面積分を行っているわけですね。つまり、直接光に関して言えば、半球面上に投影されるモデル中の光源の面積が直接光の量に比例します。であるからには、ある点からモデル全体を見渡した時、その半球面上に描かれるモデルを視覚化してみたくなりました。そこで、魚眼レンズのようなものを実装し、魚眼レンズに移った像を平面に描いてみました。球面を平面で表現する方法は、地球を地図で表現する方法と同じようにすれば良さそうですね。学生のころ地理の授業でいろいろならった記憶があります。メルカトル図法とか。ここでは、ランベルト正積方位図法を使って２次元に映し出してみることにしました。ランベルト正積方位図法っていうのは、面積比が実際と比べてだいたい同じくらいになる図法です。正確に面積比が同じなるわけではないようです。ですが、簡単に球面上の面積を視覚化するには、ちょうどいい方法だと思い、この図法を使うことにしました。
平面(スクリーン)上のピクセル値から球面座標を求める
球面上の点をスクリーンに投影するには、球面上の点とスクリーン上のピクセル値を結び付けなければなりません。図２に示すように、ランベルト正積方位図法では、球面上の点P'がスクリーン上に投影する点P''は、天頂Aと点P'が作る線分AP'を半径とする円とスクリーン２と交わる点のうち近い方の点とします。なので、スクリーン上のピクセル値を決めれば、その点に対応する球面上の点を決めることができる。
図２ ランベルト方位図法
球面上の点は、極座標で表現するのが簡単なので、天頂角AOP'を求めるのがよいでしょう。この天頂角AOP'は、余弦定理で計算できます。そんな定理ありましたね。懐かしいですね。ほとんど忘れてるのでWikipediaで調べてみました。
cos(x) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
三角形の三辺の長さが分かれば、角度が分かるよっていう定理ですね。
ここで三角形AOP'を見ると、辺AP'は分かってます。でも、辺AOと辺OP'は分かってないですね。ただ、辺AOと辺OP'は円の半径OBなので同じなので、求めるべきは円の半径OBということになります。
ところで、点Bは、魚眼レンズの一番端の部分です。この点をスクリーン上で考えると、やはりスクリーンの一番端になります。スクリーンが正方形だと仮定して、その幅をwとすると線分AB'の長さは、w/2となります。線分AB'と線分ABの長さは等しいので、線分ABの長さもw/2になります。三角形AOBは、直角二等辺三角形なので、各辺の長さの比AO:OB:ABは、1:1:sqrt(2)となります。つまり、辺AOの長さは、辺ABの長さを1/sqrt(2)倍したw/(2 x sqrt(2))です。先ほど述べたように、線分AOと線分P'Oの長さは等しいので、線分P'Oの長さもw/(2 x sqrt(2))です。
これで、三角形AOP'の全ての辺の長さが分かりました。余弦定理に当てはめると天頂角AOP'を求めることができます。次のソースコードは、Scalaでスクリーン上のピクセル値から半球上の点の座標を求めるコードです。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | private lazy val s = screen.ymax - screen.ymin /** スクリーンの半径 */ private lazy val sr = s/( 2f * sqrt( 2f ) ) def position( x: Int, y: Int ) = { // ピクセル値からシステム座標系に変換 val sx = screen.screenX( x ) val sy = screen.screenY( y ) // OBの長さの２乗 val ss = s * s // AP''の長さ val rr = sx * sx + sy * sy val r = sqrt( rr ) // 天頂角AOP' val theta = acos( 1f - 4 * rr / ss ) // OP'のxy成分 val xy = sr * sin( theta ) // 点P'の座標 if( x == screen.width/2 && y == screen.width/2 ) Vector3( 0, 0, sr * cos( theta ) ) else Vector3( sx * xy / r, sy * xy / r, sr * cos( theta ) ) } |
半球面の点P'に投影されるモデル中の点を求める
スクリーン上のピクセル値から球面上の点P'の座標は求めることができました。では、この点P'にはモデル中のどの点が投影されるのでしょうか？ この計算はさほど難しくありません。なぜなら、ベクトルOP'とシーンの中の全てのポリゴンとの交点のうち点P'と最も距離の近いものが、求める点になります。これは、レイトレーシングの時に登場する計算と同じです。
魚眼レンズを使ってレンダリング
前回のシーンを実装した魚眼レンズを使ってレイトレーシングでレンダリングしました。比較の為に普通のカメラを使ってレンダリングした画像を載せておきます。左が普通のカメラ。右が魚眼レンズ。
拡散面から見たモデル全体
下左図の赤丸の中の白い点から魚眼レンズでシーン全体を見渡してみました。下右図は、レイトレーシングのレンダリング結果です。
以下はその時のコード。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 | import net.ruffy.marble.graphics2d.{ Color } import net.ruffy.marble.graphics3d.{ Screen, DefaultCamera, LambertCamera, RayTracer } import net.ruffy.marble.math.{ Math, Vector3 } import Math._ object LambertMap { def main( args: Array[String] ) { val renderer = new RayTracer { val width = 300 val height = 300 val screen = Screen( width, height ) val root = cornelBox val camera = { val cam = DefaultCamera( screen, 17f, 88f.toRadians, 90f.toRadians, 5 ) root.toCamera( cam ).nearestIntersection( cam.createPhoton(width/8, height/2) ) match { case Some( i ) => val wp = cam.toWorld( i.point ) val wq = cam.toWorld( i.point + i.normal ) LambertCamera( screen, wp, wp -> wq, 0f ) case _ => LambertCamera( screen, 5f, 88f.toRadians, 90f.toRadians ) } } val numberOfTimesToTrace = 5 } renderer.render renderer.screen.write( "png", "images/raytrace_lambert.png" ) } } } |
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